Was ist partielle integration?

Die partielle Integration ist eine Methode der Differentialrechnung, um das Integral eines Produkts zweier Funktionen zu berechnen. Sie basiert auf der Produktregel der Ableitung.

Die partielle Integration ist definiert als:

∫(u * v) dx = u * V - ∫(V * du) dx

Dabei sind u und v zwei Funktionen, die differenzierbar sind und deren Ableitungen kontinuierlich sind. U und V sind die Stammfunktionen von u bzw. v.

Der erste Teil der Formel, u * V, ergibt das Produkt der beiden Funktionen u und V. Der zweite Teil, ∫(V * du) dx, berechnet das Integral des Produkts der Ableitung von V und u.

Die partielle Integration wird häufig angewendet, wenn man das Integral eines Produkts erhält und eines der beiden Elemente in einfacherer Form vorliegt, z.B. wenn das Integral von x * e^x berechnet werden soll. Man wählt u = x und dv = e^x, und wendet die partielle Integration an, um das Integral zu vereinfachen.

Die partielle Integration ist besonders nützlich, um schwierigere Integrale zu berechnen, wenn eine Substitution oder eine andere Methode nicht direkt angewendet werden kann.

Es ist wichtig zu beachten, dass die partielle Integration nicht immer zu einer direkten Lösung führt, sondern dazu dient, das ursprüngliche Integral zu vereinfachen. In einigen Fällen müssen zusätzliche Schritte unternommen werden, um das Integral weiter zu lösen.